Diophantus Kimdir?

İçindekiler

Tanım

Diophantus herkes tarafından cebirin babası olarak tanınır. Öklid döneminden yaklaşık olarak beş yüzyıl sonra, önemli yapıtı Arithmetica’da yüzlerce cebirsel denklemin cevabını buldu. Cebirsel gösterim ve sembolizmi kullanan ilk kişidir. Günümüzde cebirsel denklemlerdeki bilinmeyen niceliği çoğunlukla x harfiyle gösteririz. Arithmetica adlı kitabın ilk kopyalarında belirtilmeyen karakter, Yunan aksanlı olup sigma harfini andıran bir karakterle gösterilir: ς’. Aritmetik, dünyanın en büyük matematikçilerinden olan Leonhard Euler ve Pierre de Fermat ve daha nicelerine yeni keşifler için ilham kaynağı olmuştur.

Erken Dönem

Diophantus MS üçüncü yüzyılda Mısır’daki Greko-Romen şehri iskenderiye’de kendini geliştirdi. O dönem Doğu Akdeniz’deki diğer eğitim görmüş kişiler gibi Diophantus’da yunanca konuşuyordu. O zamanların koşulları nedeni ile nasıl göründüğü veya doğum ve ölüm tarihleri gibi bilgileri tam olarak bilmiyoruz. Diophantus’un hayatı hakkında bildiğimiz şeylerden biri onun kitabesi olduğu söylenen bir kelime bulmacasıdır. Tahminen, Diophantus’un hayat hikayesini bilen ve onun adına cebirsel bir anıt bırakmak isteyen bir arkadaşı tarafından kaleme alınmıştır. Kitabenin bilinmesini sağlayan kişi, yaklaşık altıncı yüzyılda bulmacalar antolojisinde kaydeden Yunan yazar Metrodorus’tur.

Kitabeyi 1941 tarihinde Ivor Thomas şu şekilde çeviriyor:

“Bu mezar Diophantus’u barındırıyor. Ne harika bir şey.
Mezar bilimsel olarak ele alındığında gerçekçi hayatı tasvir ediyor.
Tanrı yaşamının altıncı yılında bir erkek çocuk olmasını lütfetti.
On iki yaşına geldiğinde sakalları çıktı.
Yedi yaşından sonra evlilik çağının geldiğini biliyordu.
Evliliğinin beşinci yılında bir oğlu oldu.
Ne acı ki! Küçük çocuk babasının yaşamının yarısına geldiğinde öldü.
Geçen dört sene sonra kendini sayılara verdi ve üzüntüsünü böyle teselli etti.
Sonrasında ise ömrünün sonuna geldi”

Yazıtı cebirsel bir denklem olarak ele aldığımızda:

Ve X=84 olarak cevabı buluruz, bundan şöyle bir sonuç çıkarabiliriz:

Diophantus’un çocukluk dönemi 14 yıl sürmüştür.
Yaşı 21 civarında sakalları çıktı.
33 yaşındayken evlendi.
Diophantus 38 yaşındayken bir oğlu oldu.
Ama Diophantus 80 iken oğlu 42 yaşlarında vefat etti.
Diophantus 84 yaşında vefat etti.

Seçilmiş Yunan Matematikcilerinin Ömürleri

Diophantus’tan Önce Cebirin Kısa Tarihi

Cebir bilinenin aksine uzun bir geçmişi sahiptir. MÖ 2000-1600 yılları arasında Babilliler, oldukça karmaşık cebir üretti. Bazıları kil tabletlerde günümüze ulaşmıştır. Babylon’un matematikçileri problemlerin kesin bir sayısal çözümü üzerine çalışmadılar. Üzerinde çalıştıkları referans tablolarından elde ettikleri pozitif sonuçlarla yetindiler. Alan uzunluğu, kare uzunluğu ve geometrik çizimleri ile sadece ikinci dereceden denklemleri çözebilirler. Yaklaşık olarak MÖ 1550 yıllarında ünlü Rhind Matematik Papirüsünün Eski Mısır uygarlığı zamanlarındaki cebiri anlattığı bilinir. Örneğin: Cevap olarak 10’u bulmak için (1 + ½ + ¼) hangi sayı ile çarpılmalıdır?

Çin’den Matematiksel Sanat Üzerine Dokuz Bölüm, büyük olasılıkla MÖ 1000-MS 200 tarihleri arasında aşamalı olarak oluşturulmuştur. Sekizinci bölümde olan tarımsal problemler ve matrislere benzer sayı dizileri kullanılır ve bunların çözümü için de lineer denklemlerden faydalanılmıştır.

Günümüz matematik tarihçileri genellikle Öklid’in Elementleri’nin MÖ 300’den kalma 2. Kitabı üzerinde, geometrik dilde kaleme alınmış cebir içerip içermediğini tartışırlar. 11.yüzyılın ünlü İranlı matematikçisi Ömer Hayyam şu sözleri söylemiştir:

Cebirin bilinmeyenleri göstermek için bir kolaylık olduğunu sanan varsa yanılmıştır. Cebir ve geometrinin aslında farklı alanlar olduğuna dikkat edilmelidir.

Ömer Hayyam

Ömer Hayyam cebir konusunu matematiğin önemli bir konusu olarak görülmesi gerektiğini düşünüyordu. Birçok matematikçi cebir konusunda uzak bir yaklaşım gösteriyorlardı. Bunun nedeni ise cebirin Öklid’in Elemetleri’nin geometriye getirdiği zorlayıcı mantıksal titizlikten yoksun olmasıydı. Hayyam’ın kübik denklemlerle ilgilenmesi, cebir ve geometrinin birbiriyle ilişkili olduğu yönünde ona kesinlik verdi.

Diophantus’un Matematiği ve Aritmatiğe Giriş

Diophantus önemli klasik eseri olan Arithmetica’yı başlarda arkadaşı Dionysius’a matematik problemlerini çözmesinde yardımcı olması amacıyla ders kitabı olarak yazmıştır. Aritmetiğin amaçlarından biri de bir veya daha fazla bilinmeyeni bulmak amacıyla denklemlerin çözümünü bulmaktır. Arithmetica’nın bir özellliği de Diophantus döneminde elle yazılmış olmasıdır. İlk kopyalar Avrupa’da basılana bin yıldan fazla bir süre boyunca yazıcılar tarafından kopyalandı.

Saygılarla ilgili problemleri nasıl bulacağınızı öğrenmek için hevesli olduğunuzu bildiğim için, en saygıdeğer dostum Dionysius, bilimin üzerine kurulduğu temellerden çıkarım yaparak, sayılarda var olan tabiatı ve gücü sizlere göstermeye uğraştım.

Konu oldukça zor görünebilir. Bunun sebebi ise henüz bilinmemesidir. Ama sizler matematik hevesiniz ve benim sizlere yol göstermemle ustalaşmayı kolaylaştıracaksınız. Öğrenme arzusu, doğru yol gösterici ile hızlı ilerlemeyi sağlar.

Diophantus

Aritmetik, c. 250 AD

Aritmetik, Öklid’in Elementleri’ne yakın şekilde kaleme alınmış olabilir. Euclid, Eudoxus ve Pisagorcular gibi ünlü matematikçilerin çalışmalarıyla yakından ilgilendi ve bazılarını geliştirdi. Arithmetica’ya benzer konulara sahip o dönemlerden kalma diğer kitaplar günümüze ulaşamamıştır.

Aritmetik Ciltleri

Diophantus, Arithmetica adlı eserini on üç cilt olarak kaleme almıştır. Günümüze ulaşan bu on üç ciltten altısını Yunanca olarak yazmıştır. Dört tanesi ise Arapça çeviriler olarak bulunmaktadır.

Cilt 1, 2 ve 3, Bizans’tan Yunanca dilinde olarak günümüze kadar gelmiştir bulunmaktadır.
Cilt 4, 5, 6 ve 7, Bağdat’tan Yunanca’nın Arapça çevirileri olarak yazılmıştır. Dokuzuncu yüzyılda, Arapça olarak Qusta ibn Luqa olarak tanınan Bizanslı Hıristiyan bilgin Kostas Luka tarafından çevrildiler. Kitaplar 1971’de İran’ın Meşhed kentinde bulundu ve Astan Quds Kütüphanesi’nde Diophantus yerine Qusta ibn Luqa’nın eseri olarak yüzyıllarca yanlış bir şekilde dosyalandı.
Arithmetica’nın geri kalan üç cildinin dili yunancadır ama cilt sayısı belirli değildir. Bunlar 8, 9, 10, 11, 12 veya 13 ciltlerinden herhangi üçü olabileceği düşünülmektedir.

Arapça olarak yazılan çeviriler, çözümler ile ilgili bölümde Yunanca olarak yapılan çevirilerden çok daha fazla yorumlara yer verilmiş olduğu görülür. Hypatia’nın okulundaki öğrencileri için Arapça baskıları uyarlanıp kayıp olan baskıdan kopyalanmış olduğu düşünülmektedir.

Aritmetikte Matematik

Diophantus öncelikle tanımlar ve kurallarla başlar. Şöyle bir örnek verecek olursak, farklı işaretlerle niceliklerin sonuçlarını açıklar ve okuyucularına çıkarma işlemini bir sembolle gösterileceğini söyler. Kitabında şu şekilde açıklar:

Eksi ve eksi çarpı bir artı yapar; eksi ve artı artı yapar; ve eksi işareti, ters çevrilmiş bir kesik Ψ’dir.

Diophantus

Aritmetik, c. 250 AD

Problem

Arithmetica adlı kitap Diophantus’un ilk kitabında olan ilk problemde, okuyucularından belirli bir sayıyı, belirli bir farkı olan iki sayıya bölmelerini istenmektedir.
Okurlarına sunduğu sayı 100 ve aradaki fark 40’tır.

Çözüm

Diophantus [modern gösterimi kullanıyoruz] şöyle yazıyor:
2x + 40 = 100
böylece x = 30
Bu sebeple iki sayı 30 ve 70’tir.

İşler Zorlaşıyor

Diophantus, çözülebilir denklemlere çevirdiği yüzlerce problemi açıklayarak bu şekilde devam eder. Kuadratikler, kübikler ve X’in daha zor denklemleri tanıtırken zorluk seviyesini yükseltir.

Lisede, ax 2 + bx + c = 0 genel biçimindeki denklemleri öğreniriz; bunlar ikinci dereceden denklemlerdir. Kübik denklemler genel biçimde ax 3 + bx 2 + cx + d = 0’dır.
Kübik denklemleri çözmek ikinci dereceden denklemlerden daha zordur.

Diophantus’un farklı bir yöntemi vardır. Denklemlerin negatif ve irrasyonel çözümleri ile ilgilenmez. Diophantus’un yapmış olduğu bir eleştirisi okurlarına ikinci dereceden gibi belirli bir problem sorusunu çözmek için ara sıra genel yöntemler sunmasıdır. Arithmetica’daki matematiksel zorluk düzeyi bazen ilginç düzeyde yüksektir. Çözümün sonunda ise her sayının dört karenin toplamı şeklinde yazılabileceğini ispat etmek için 18. yüzyıl döneminin ünlü matematikçisi olan Joseph Lagrange’ın inanılmaz matematiksel zekası gerekiyordu.

Diophant Denklemi

Diophantus Arithmetica adlı eserinde belirsiz denklemlerin çalışmasını başlattı. Böylece bilinmeyenlerin sayısının verilen denklem sayısını bile geçtiği polinom denklemleridir. Diophantus’un belirsiz denklemlerinin çözümleri genellikle pozitif rasyonel sayılardı. Günümüzde bir Diophant Denklemi,çözümleri tam sayı olması gereken belirsiz bir denklem olarak tanımlıyoruz.

Bu Diophant Denklemini ele alalım:

Eğer n=2 ise, elimizde sonsuz sayıda tamsayı çözümü olan Pisagor teoremi bulunur. En bilinen örneği 3-4-5 üçgenidir: x=3, y=4, z=5.

Fermat’ın Son Teoremi ise n’nin 2’den büyük bir tam sayı olması durumunda, denklemin x, y ve z için tam sayı çözümleri olmadığını söyler. Fakat Fermat bunu n’nin tüm değerleri için ispatladığını iddia etti. Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, kitap Diophantus’ Arithmetica idi.

Aritmetikten Sonra

Diophantus’un Aritmetica’yı yazmasından tam dört yüzyıl sonrasında ünlü Hintli matematikçi olan Brahmagupta, lineer ve ikinci dereceden denklemlerde kullanılan genel çözümü icat etti. Aradan geçen iki yüzyıl sonra ise ünlü İranlı matematikci el-Harezmi ise Brahmagupta’nın çözümünü geliştirdi ve denklemlerin sistematik çözümlerini buldu. Bir süre sonra ise Qusta ibn Luga’nın Aritmetica’nın Arapçaya dokuzuncu yüzyılda bulunan çevirisine eklendi.

Brahmagupta ve el-Khwarizmi’nin çalışmaları, X ve X 2’deki denklemler üzerinde çalıştıkları için Diophantus’unkinden daha az iddialıydı. Diophantus çoğunlukla X 9’a kadar kübik ve daha yüksek zor denklemleriyle ilgilendi. Ve iki matematikçide Diophantus’un ileri sürdüğü cebir ile ilgilenmediler. Brahmagupta ve el-Khwarizmi’nin en önemli katkısı, bir denklemin genel çözümü kavramıdır. Arithmetica’nın günümüze ulaşan kitaplarının hiçbirinde genel çözümler yer almamaktadır.

El-Harezmi ve Diophantus’un yapmış oldukları çözümlerin kaynaşması, İran’da ve İslam camiasında cebirde büyük yeniliklere öncülük etti. On birinci yüzyılda Ömer Hayyam paraboller ve çemberler gibi konik bölümlerin kesişimlerinin nasıl kübik denklemlerin geometrik çözümler verebileceğini gösterdi.

Rönesans’ın hemen sonrasında, en yüksek rütbeli Avrupalı matematikçiler bile Aritmetik’in matematiği ile etkilendiler.1535’te Niccolo Tartaglia bütün kübik denklemler için geçerli bir çözüm icat etti. 1600’lü yıllarda Arithmetica, Pierre de Fermat’ın çok sayıda fikrine ilham kaynağı oldu. Günümüzde hobi olarak çözdüğümüz bir bulmaca veya sudoku gibi Aritmetica üzerinde zevk için ilgilendi. Aklına yeni fikirler geldikçe bunları kitabın kenarına not aldı. Fermat’ın Son Teoremi de olmak üzere bu fikirler sayı teorisini dönüştürdü.

Aritmetica’nın yazılmasından sonra aradan geçen 1500 yıl sonra bile 1700’lü yıllarda Leonhard Euler onun daha zor problemlerini çözmekten büyük zevk aldı ve ilham kaynağı oldu..

Euler’in sözleri bize Diophantus’a uygun bir son övgü sağlar:

Doğrudur, Diophantus ele aldığı bütün soruların yalnızca en özel çözümlerini verir. Günümüzde hala kullanılanlar kadar genel olan problemlerin herhangi birini çözmek için kullandığı gerçek yöntemlerdir. Ama hayır Diophantus’ta izleri olmayan ve keşfedilecek yeterli belirgin bit analiz türü henüz icat edilmemiştir. Hemen hemen hiçbir yöntemin olmadığını da kabul etmemiz gerekir.

Leonhard Euler

Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, 1761, Çeviren Sir Thomas Heath

Kaynak: https://www.famousscientists.org/diophantus/

Görsel Kaynak: https://zen.yandex.ru/media/mathematic/diofantovy-piaterki-uskolzaiuscie-ot-matematikov-pochti-2000-let-60a79dd170bb2023e79ffb4a

Editör: Meryem Melisa KAR